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類型淺談估算法在函數、數列中的應用.doc

  • 上傳人:涵涵文庫
  • 文檔編號:1562829
  • 上傳時間:2018-08-05
  • 格式:DOC
  • 頁數:6
  • 大?。?.28MB
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    淺談估算法在函數、數列中的應用.doc
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    1、1淺談估算法在函數、數列中的應用呂 躍 (湖北省沙市中學 434100)胡耀宇 ( 湖北省監利一中 433300)估算,顧名思義,估摸著計算,它的基本特點是對數值作適當的擴大或縮小,對圖象作粗略的觀察,從而對運算結果確定出一個范圍,或作出一個估計 1.有人說:“估算,是在蜂擁而來的眾多信息面前,迅速捕捉一批有用或關鍵信息的那種數學素質,它往往可以跳過繁冗的邏輯推理過程,直接給出結果,或將解題的關鍵一眼看穿 ”.高中數學課程標準明確提出要注重提高學生的數學思維能力,并作為數學教育的基本目標之一 2.要提高學生空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力,提高數學地提出、分析和解決問

    2、題的能力.新教材調整后的內容添加了算法這一模塊,就體現了這樣理念,可見運算能力作為學生的一項基本能力成為學生必備素質.同樣,近幾年高考為體現新課程標準的要求,在函數、數列的運算能力中也特別注重了“估算”的考查,本文擬從四個方面談談膚淺的認識.1 特值引路,精打細算例 1 (2007 年湖北卷理科)已知 p 和 q 是兩個不相等的正整數,且 q2,則)n(limqpnA 0 B 1 C D qp1qp法 1:取 p=1,q=2, ,選 C.2nlim1)n(lin2n 法 2: 1nCn1Cli1)n(limq2q10q pppnqpn 2qpn1C1nCqplimq23q2ppn 一般化、特殊

    3、化和類比被并列地稱為“獲得發現的偉大源泉”.可見特殊化思想的重要性,本題取 p=1,q=2 ,不僅“四兩撥千斤 ”,選出結果易如反掌,而且從中得到暗示 3,可沿著二項式定理展開的方向進行一般化的探求.例 2 (2006 福建卷文科)已知二次函數 f(x),不等式 f(x)1 時n2)l()nl(1=n1n0n C)(C)1( 2)1(C12n2n=1 時, ,故 , (n=1 時,取“=”)2)()12ln)l(取 ,易知 ,g(x) 遞增;3x(g,x1)g 0xg,x時遞減.),0(,2(x時問題得證.2ln16leln41)(g4本題參考解答是構造函數 考查 h(x)在 遞增,且),1x

    4、l(x)(h3),04h(0)=0.解法比上述別解更直接,但別解顯示了掌握 之后的另一種構3)n1(2造韻味.3 數形結合,胸有成竹例 5 (2007 年廈門雙十期末測試)函數 恒成1xk)(f,0x,)1ln()x(f 時若立,求正整數 k 的最大值.法 1:當 恒成立.0)(f1k)x(f1,0x 對即時設 ,只需 .ln)(f()g min)x(gk令 ,即 x2xln01lx設方程對應解為 x=x0,則 時, 遞減; ,),()x(g,0)( ),x(0g(x)遞增.,0)x(g其中,x 0 滿足 ,1x)ln(1)()xg( 000min )1xln(00下證 20, (2) (3)

    5、0故 2x03, ,由 ,k 的最大值是 3.)4,3()(g0min)(gk0min法 2: 恒成立,只需0x1xlxt,1xk)(f 對即即可.0)x(tmin令 遞減;)x(t,0t),1e,0(x,1ex,0k2)ln()t 2kk 當得遞增.(t,xt,1e(x2k0ek)()t 22kmin記 ,2k1(s,sk知,0e3),0e2)( 又遞減,k(s4,4s時且 0)(s5的最大值是 3.k又象魔術師帽子中跑出來的兩只兔子,無論是對 中0)1xln()x(0的 x0 的估計,還是 的取值,似乎都如從天而降.k0ek)(s2中其實只要聯想兩個超越方程 和 所對應的圖象(見圖)1xl

    6、n(00ek21,圖 2),思路就順理成章了.偉大數學家歐拉告誡我們:數學這門學科,需要觀察,也需要實驗.4 直覺估算,難題亦易例 6:(2007 湖北卷理科)已知 m、n 為正整數.(1)用數學歸納法證明:當 時, ;1xmx1)(2)對于 n,.2,)(3n,2)3n1(,n 求 證已 知(3)求出滿足 的所有正整數 n.n)(4解:(1)(2)略.(3)當 時,由(2)可知6n .n,21m,)21(3nm1( 分 別 以 1)()321()31( n ,即 也就是1)n(n2 ,)3n(24n方程無 的解,故只需討論 n=1,2,3,4,5,時的情形 .6當 n=1 時,3 4;當 n

    7、=2 時, 2253當 n=3 時, ;當 n=4 時,365 4447653當 n=5 時, 綜上,所求 n=2 或者 n=3.5874圖 1 圖 26其理能懂,其法太妙,妙難想到!其實,本題利用直覺就可估算出結果,首先勾股數 ,就知道特殊22543值 n=2 可行,于是如法炮制求出 n=2,n=3,但不至于一直驗證下去呀?回頭重新審題,會看到第(2)問中條件 n6 在前面的證明中用處不大;而第(2)問與第(3) 問中 n+3 這個代數式的相同就產生了方程兩邊同時除以(n+3) n 的變形想法,后面的不等式就不難想到了.估算在上述問題的解決中的確發揮了重要作用,甚至成為解決問題的關鍵和靈感源泉.在現今高考中,不再用繁瑣的計算、機械的重復來考查學生的運算能力,代之以基本數學思想指導下的一題多解,同時兼顧對算理和邏輯推理的考查 4,這時“估算”往往成為“神來之筆”的推動力,成為不合情理中的合情推理手段.參考資料1楊品方 用估算法對幾何命題作判斷,數學通訊 2004.92中華人民共和國教育部 普通高中數學課程標準 人民教育出版社 2003.4 3G波利亞 怎樣解題 科學出版社 19824田光利 如何提高學生的運算能力 數學通訊 2002.17作者簡介呂躍,(1968-) ,男,湖北監利人,湖北省沙市中學高級教師。

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